Aller tout en bas au dernier message - Répondre au message - Retour au forum sur la course à pied
problème gastrique par rekdal (invité) (83.194.18.xxx) le 02/10/06 à 19:36:28
Bonjour,
je suis un modeste adepte de la cap et participe à 2 courses par an, un 5km et un 10km.
Et à chaque fois je suis pris de douleurs gastriques, voire de diahrées (si je vous jure) ce qui m'empêche de réaliser les temps d'entrainements. A chaque fois, c est une course au courage que je realise bien loin des mes temps records. Ce problème peut vous paraitre marrant, mais c est très handicapant et frustrant de devoir faire des courses à 50% de son potentiel.
Quelqu'un a t-il une explication ou un remède, vais je être obliger de courir en couche culotte ou avec un pot de chambre ?
problème gastrique par desperado (invité) (82.216.103.xxx) le 02/10/06 à 20:06:15
Je partage tes désagréments et je suivrai de près les réponses des CAPeurs... tu n'es donc pas tout seul dans tes em...ents...
problème gastrique par azrem (membre) (85.168.136.xxx) le 02/10/06 à 20:16:02
je crois que Pampers a trouvé la solution depuis des années !!
contacte les ici : 0810 631 198 (numéro Azur - prix d'une communication locale)
problème gastrique par maximinimus (invité) (83.199.208.xxx) le 02/10/06 à 20:19:50
c'est le stress ca normalement non?
problème gastrique par desperado (invité) (82.216.103.xxx) le 02/10/06 à 20:52:21
Mon pauvre Azrem,
je suis tes réponses de gros naze depuis déjà quelques temps et je suis grâce à toi de plus en plus affligé par la bêtise humaine. Je pense que derrière son ordi se cache un gringalet frustré incapable de descendre sous les 50 minutes sur 10 bornes et pour qui l'idée de courir un semi-marathon relève de la plus invraisemblable utopie. Je te plains car, pour avoir autant de temps à fournir des réponses aussi futiles et imbéciles, ton temps ne doit pas être bien précieux. Continues de pourrir le forum avec ton cynisme infantile, du moment que ça t'occupe, c'est déjà pas mal.Au moins, nous contribuons tous à alimenter ton ennui.
problème gastrique par azrem (membre) (85.168.136.xxx) le 02/10/06 à 20:57:32
si tu avais suivi tous mes posts, tu saurais aussi que je suis à 47'36 au 10km et à 2h09 au semi.
ça t'aurait épargner d'écrire ton message erroné.
problème gastrique par (invité) (82.216.103.xxx) le 02/10/06 à 21:01:56
Mais je suis très content pour toi. Va t'entrainer plutôt. Pour ton âge, c'est minable 47 minutes et 2h au semi, moi je changerais de sport. Les dominos, c'est une super discipline. Je crois que tu devrais essayer, enfin, si néammoins tu sais compter.
problème gastrique par azrem (membre) (85.168.136.xxx) le 02/10/06 à 21:06:54
si tu maîtrise mieux que moi la théorie de la mesure de Lebesgue, alors tu sais compter mieux que moi.
problème gastrique par maxbault (membre) (84.5.39.xxx) le 02/10/06 à 21:14:26
desperado:
Qu'est-ce que tu as contre ceux qui font plus de 50 min au 10 Km ?
Maxbault
problème gastrique par alainP (membre) (82.226.222.xxx) le 02/10/06 à 21:16:09
T'es un champion arzem ...
Mesure de Lebesgue
Consid¶erons la fonction f = 1Q, (la fonction caract¶eristique de l'ensemble des rationnels Q)
d¶e¯nie sur [0; 1]. On a pour toute subdivision S de l'intervalle [0; 1] :
L(f; S) = 0; U(f; S) = 1:
Ceci veut dire que cette fonction n'est pas Riemann{int¶egrable. Pourtant, si l'on utilise l'in-
terpr¶etation g¶eom¶etrique de l'int¶egrale de f, on voit que cette int¶egrale \pourrait" avoir un
sens. Ainsi, si on a®ectait une mesure nulle µa l'ensemble Q (et µa tout ensemble d¶enombrable),
on obtiendrait une int¶egrale nulle de f.
2.1 Mesure sur un intervalle born¶e
2.1.1 D¶e¯nition
Dans ce qui suit, pour tout intervalle I de R on appelle `(I) la longueur de I. Soit E un
sous-ensemble de R et soit C un recouvrement d¶enombrable de E en intervalles Ij . On appelle
mesure ext¶erieure de Lebesgue ou simplement mesure de Lebesgue de E le nombre
m(E) := inf nXj
`(Ij ); E ½ [j
Ijo: (2.1)
Cette d¶e¯nition reste la m^eme si l'on utilise des intervalles Ij ouverts, ferm¶es ou les deux µa
la fois. En e®et, Si (Ij) est un recouvrement en intervalles ouverts de E, il existe un recou-
vrement (Kj) en intervalles ferm¶es donnant la m^eme longueur totale. Ainsi, l'utilisation de
recouvrement en ferm¶es pourrait donner une plus petite valeur de m(E). Or, pour chaque
recouvrement ferm¶e (Ik), il existe un recouvrement ouvert (Jk) dont la longueur totale est
inf¶erieure µa Pk `(Ik) + ², en choisissant par exemple (Jk) tel que `(Jk) < `(Ik) + ²=2k. Donc,
µa tout recouvrement ferm¶e (Ij) on peut associer des recouvrements ouverts avec des lon-
gueurs totales arbitrairement proches de la longueur totale de Ij . Ainsi, la borne inf¶erieure
des longueurs totales est la m^eme.
14 2 Mesure de Lebesgue
Proposition 2.1.1 Si I = [a; b] ½]0; 1[ ou I =]a; b[½]0; 1[ , alors m(I) = `(I).
Nous pouvons maintenant ¶enoncer les premiµeres propri¶et¶es de la mesure m.
Proposition 2.1.2
(i) m(E) · m(F) si E ½ F (Monotonie) ;
(ii) 0 · m(E) · 1 pour tout ensemble E ½]0; 1[ ;
(iii) m(;) = 0 ;
(iv) m(fxg) = 0 pour tout x 2 [0; 1].
D¶emonstration.
(i) Si (Ij) est un recouvrement de F alors (Ij) est un recouvrement de E. On en d¶eduit que
m(E) · m(F).
(ii) D'aprµes (2.1), le nombre m(E) est borne inf¶erieure de nombres positifs. Donc m(E) ¸ 0.
Nous notons en outre que, par la proposition 2.1.1, m([0; 1]) = 1. Donc, d'aprµes (i), m(E) · m( ]0; 1[ ) = 1.
(ii) ¶Evident.
(iii) L'union d'intervalles de la forme ]x¡ 1
n; x+ 1
n[ constitue un recouvrement de l'ensemble
fxg. En faisant tendre n vers +1, on obtient le r¶esultat.
Proposition 2.1.3 Pour toute famille d¶enombrable (Ei) de sous-ensembles de [0; 1], on a
m0@[j
Ej1A ·Xj
m(Ej):
En d'autres termes, la mesure m est sous-additive.
D¶emonstration. Pour un ¶el¶ement Ei de la famille d¶enombrable, soit ² > 0 et soit (Iij) un
recouvrement de Ei en intervalles ouverts tel que
m(Ei) + ²
2i >Xj
`(Iij):
Alors [iEi ½ [ijIij . Donc
m([iEi) ·Xij
`(Iij)
·Xi ³m(Ei) + ²
2i ´
=Xi
m(Ei) + ²:
En faisant tendre ² vers z¶ero, nous obtenons
mÃ[i
Ei!·Xi
m(Ei):
2.1 Mesure sur un intervalle born¶e 15
2.1.2 Ensembles mesurables
Une propri¶et¶e essentielle que nous voudrions obtenir pour une mesure est son additivit¶e. En
d'autres termes, nous voudrions obtenir l'identit¶e
mÃ[i
Ei!=Xi
m(Ei) (2.2)
pour toute famille d'ensembles (Ei) disjoints deux µa deux. Dans tout ce qui suit, nous appel-
lerons ensembles mesurables toute suite d'ensembles (Ei) pour lesquels la relation (2.2) est
vraie.
D¶e¯nition 2.1.1 On dira qu'un ensemble E est mesurable si
m(E) + m(Ec) = 1;
oµu Ec := ]0; 1[nE.
Nous pouvons ainsi d¶eduire les propri¶et¶es imm¶ediates suivantes :
Proposition 2.1.4
(i) L'ensemble E est mesurable si et seulement si son compl¶ementaire Ec est mesurable.
(ii) Si m(E) + m(Ec) · 1 alors E est mesurable.
(iii) Si m(E) = 0 alors E est mesurable.
(iv) Les intervalles sont des ensembles mesurables.
D¶emonstration.
(i) ¶Evident.
(ii) R¶esulte imm¶ediatement de la proposition 2.1.3. Cette in¶egalit¶e est donc une caract¶erisation
de la mesurabilit¶e.
(iii) Supposons m(E) = 0. On a
m(E) + m(Ec) = m(Ec) · 1:
Ceci ¶equivaut µa la mesurabilit¶e.
(iv) ¶Evident, puisque le compl¶ementaire d'un intervalle est union disjointe d'intervalles.
Lemme 2.1.1 Si (Ij) est une famille d¶enombrable d'intervalles disjoints deux µa deux de
l'intervalle ]0; 1[ , alors pour tout ensemble E on a
m0@E \[j
Ij1A =Xj
m(E \ Ij):
On a vu qu'un ensemble est mesurable si et seulement si il partitionne l'intervalle [0; 1] additi-
vement. Le r¶esultat suivant montre qu'il est mesurable si et seulement si il partitionne chaque
sous-intervalle de [0; 1] additivement.
16 2 Mesure de Lebesgue
Proposition 2.1.5 Un ensemble E est mesurable si et seulement si, pour tout intervalle
I ½]0; 1[ ,
m(E \ I) + m(Ec \ I) = m(I):
D¶emonstration. Notons l'intervalle I par I =]a; b[ avec 0 < a < b < 1. Soit en outre les
intervalles
I1 =]0; a[ ; I2 = I =]a; b[ ; I3 =]b; 1[ :
Puisque l'ensemble fa; bg a une mesure nulle, on a m(E n fa; bg) = m(E) et de m^eme pour
Ec. Donc, par la proposition pr¶ec¶edente :
m(E) = m(E \ I1) + m(E \ I2) + m(E \ I3);
m(Ec) = m(Ec \ I1) + m(Ec \ I2) + m(Ec \ I3):
En additionnant, nous obtenons, puisque (E \Ij)[(Ec \Ij) = Ij et gr^ace µa la sous-additivit¶e
m(E) + m(Ec) =
3 Xj=1
(m(E \ Ij) + m(Ec \ Ij))
¸
3 Xj=1
m(Ij) = 1:
Donc m(E) + m(Ec) = 1 si et seulement si
m(E \ Ij) + m(Ec \ Ij) = m(Ij)
pour tout j. Si I est de la forme ]0; a[ ou ]b; 1[ le m^eme argument fonctionne en consid¶erant
un seul intervalle compl¶ementaire.
Proposition 2.1.6 (Caract¶erisation de Carath¶eodory)
L'ensemble E est mesurable si et seulement si on a
m(E \ T) + m(Ec \ T) · m(T)
pour tout « ensemble test » T.
D¶emonstration. Le condition est su±sante puisqu'il su±t de prendre T =]0; 1[ . Montrons
que la condition est n¶ecessaire.
Soit T une partie quelconque de ]0; 1[ et soit ² > 0 et (Ij) un recouvrement d¶enombrable de
E par des intervalles ouverts tels que
1Xj=1
m(Ij) < m(T) + ²:
Alors
E \ T ½
1[j=1
(E \ Ij); Ec \ T ½
1[j=1
(Ec \ Ij):
2.1 Mesure sur un intervalle born¶e 17
Si E est mesurable, on a
m(E \ Ij) + m(Ec \ Ij) = m(Ij) pour tout j:
Utilisant la monotonie et la sous-additivit¶e, nous obtenons
m(E \ T) + m(Ec \ T) ·
1Xj=1
m(E \ Ij) +
1Xj=1
m(Ec \ Ij)
=
1Xj=1
m(Ij) < m(T) + ²:
Puisque ² est arbitraire, nous pouvons conclure.
Proposition 2.1.7 Soit (Ei)1i=1 une famille d¶enombrable d'ensembles disjoints deux µa deux
et mesurables. Alors
mÃ1[i=1
Ei!=
1Xi=1
m(Ei):
D¶emonstration. Soit E1;E2; : : : ;En une famille ¯nie d'ensembles disjoints deux µa deux et
mesurables. On a par la proposition pr¶ec¶edente avec T = E1 [ : : : [ En,
m(E1) + m(E2 [ ¢ ¢ ¢ [ En) = m(E1 [ ¢ ¢ ¢ [ En):
De m^eme, pour T = E2 [ : : : [ En,
m(E2) + m(E3 [ ¢ ¢ ¢ [ En) = m(E2 [ ¢ ¢ ¢ [ En):
Donc
m(E1) + m(E2) + m(E3 [ ¢ ¢ ¢ [ En) = m(E1 [ ¢ ¢ ¢ [ En):
On en d¶eduit
mà n [i=1
Ei!=
n Xi=1
m(Ei):
Supposons maintenant que la famille (Ei) soit d¶enombrable. On a pour tout n = 1; : : : ;+1
mÃ1[i=1
Ei!¸ mà n [i=1
Ei!=
n Xi=1
m(Ei);
donc
mÃ1[i=1
Ei!¸
1Xi=1
m(Ei):
Proposition 2.1.8 Si (Ei) est une famille d¶enombrable d'ensembles mesurables, alors [iEi
est mesurable. Les ensembles ouverts et les ensembles ferm¶es sont mesurables.
18 2 Mesure de Lebesgue
2.2 Mesure sur un ensemble quelconque de R
D¶e¯nition 2.2.1 Soit X un ensemble et soit P(X) l'ensemble des parties de X. On appelle
algµebre sur X toute partie A de P(X) v¶eri¯ant les propri¶et¶es suivantes :
(i) X; ; 2 A ;
(ii) Si E 2 A alors Ec := X n E 2 A ;
(iii) Si E1;E2 2 A alors E1 [ E2 2 A , i.e. A est ferm¶e pour l'union.
On peut montrer ais¶ement qu'une algµebre est aussi ferm¶ee pour les unions et intersections
¯nies d'ensembles.
D¶e¯nition 2.2.2 Soit X un ensemble et soit A une algµebre sur X. On dit que A est une
¾{algµebre sur X si A est ferm¶ee pour les unions d¶enombrables, i.e. :
si (Ei)1i=1 2 A alors
1[i=1
Ei 2 A :
Proposition 2.2.1 L'ensemble des parties mesurables de l'intervalle ]0; 1[ forme une ¾{
algµebre.
Nous voulons maintenant ¶etendre la notion de mesure µa tout sous-ensemble de R.
Soit n 2 Z et soit E une partie de l'intervalle ]n; n + 1[ . On d¶e¯nit
¹(E) = m(E ¡ n); oµu E ¡ n := fx ¡ n; x 2 Eg:
Ainsi on a ¶evidemment ¹(E) = m(E) si E ½]0; 1[ . Soit maintenant E une partie de R, on
d¶e¯nit
¹(E) =Xn2Z
¹(E\]n; n + 1[ ):
Remarque 2.2.1 On d¶eduit de cette d¶e¯nition que si E est d¶enombrable alors ¹(E) = 0. De
plus, la mesure ¹ peut ^etre in¯nie.
D¶e¯nition 2.2.3 Une partie E de R est dite mesurable si, pour tout n 2 Z, l'ensemble
E\]n; n + 1[ est mesurable, i.e., si on a
¹(E\]n; n + 1[ ) + ¹(Ec\]n; n + 1[ ) = 1:
Proposition 2.2.2 Une partie E de R est mesurable si et seulement si, pour tout ensemble
T de R,
¹(E \ T) + ¹(Ec \ T) = ¹(T): (2.3)
D¶emonstration. On a par d¶e¯nition
¹(T) =Xn2Z
¹(T\]n; n + 1[ );
¹(T \ E) =Xn2Z
¹(T \ E\]n; n + 1[ );
¹(T \ Ec) =Xn2Z
¹(T \ Ec\]n; n + 1[ ):
2.2 Mesure sur un ensemble quelconque de R 19
Donc, si E est mesurable, on a pour tout n 2 Z, en choisissant pour un ensemble test
T\]n; n + 1[ ,
¹(T \ E\]n; n + 1[ ) + ¹(T \ Ec\]n; n + 1[ ) = ¹(T\]n; n + 1[ ):
D'oµu le r¶esultat (2.3). R¶eciproquement, si la relation (2.3) a lieu pour tout T, alors si on
choisit T =]n; n + 1[ , tout ensemble E\]n; n + 1[ est mesurable.
Proposition 2.2.3 La mesure de Lebesgue ¹ est invariante par translation, i.e., pour toute
partie E de R,
¹(E + x) = ¹(E) pour tout x 2 R:
problème gastrique par alainP (membre) (82.226.222.xxx) le 02/10/06 à 21:26:02
arzem, ar ar zem, t'es d'accord ?
problème gastrique par dr.trape (invité) (82.127.65.xxx) le 02/10/06 à 21:28:35
@rekdal
les troubles digestifs sont fréquents chez les sportifs et si, le plus souvent, il s'agit de troubles fonctionnels sans gravité mais invalidants , parfois il y a une organicité digestive à ce type de symptomes ce qui me conduit à vous dire de consulter.
problème gastrique par St Thomas (invité) (83.156.241.xxx) le 02/10/06 à 21:37:13
En outre, ton 10km en moins de 48'00 n'est il pas un joli reve égalament? Faire son footing au parc de Sceaux, et décréter que l'on y a fait un circuit de 10km c'est bien joli! Le tout ce serait de te voir réellemnt sur un 10bones et pas seulement en tant que pseudo blessé spectateur!
A bonne entendeur salut!
Je suis comme st Thomas, je ne crois que ce que je vois!
problème gastrique par azrem (membre) (85.168.136.xxx) le 02/10/06 à 21:49:45
je crois que t'es jaloux !!
regarde mon blog, et tu veras que tout est réel !!!
problème gastrique par alainP (membre) (82.226.222.xxx) le 02/10/06 à 21:53:35
concernant lebesgue, j'ai rien compris en fait.
Tu peux m'expliquer arzem ?
problème gastrique par seb (invité) (193.48.219.xxx) le 02/10/06 à 21:55:14
oui peut-tu m'expliquer aussi azrem, car je risque d'en avoir besoin dans mes études, et j'aimerais connaitre l'idée générale.
merci
problème gastrique par azrem (membre) (85.168.136.xxx) le 02/10/06 à 21:56:05
vous suivez quelle filière ?
problème gastrique par seb (invité) (193.48.219.xxx) le 02/10/06 à 21:57:25
école d'ingé
problème gastrique par alainP (membre) (82.226.222.xxx) le 02/10/06 à 21:59:11
l'idée générale est simple :
Consid¶erons la fonction f = 1Q, (la fonction caract¶eristique de l'ensemble des rationnels Q)
d¶e¯nie sur [0; 1]. On a pour toute subdivision S de l'intervalle [0; 1] :
L(f; S) = 0; U(f; S) = 1:
Ceci veut dire que cette fonction n'est pas Riemann{int¶egrable. Pourtant, si l'on utilise l'in-
terpr¶etation g¶eom¶etrique de l'int¶egrale de f, on voit que cette int¶egrale \pourrait" avoir un
sens. Ainsi, si on a®ectait une mesure nulle µa l'ensemble Q (et µa tout ensemble d¶enombrable),
on obtiendrait une int¶egrale nulle de f.
2.1 Mesure sur un intervalle born¶e
2.1.1 D¶e¯nition
Dans ce qui suit, pour tout intervalle I de R on appelle `(I) la longueur de I. Soit E un
sous-ensemble de R et soit C un recouvrement d¶enombrable de E en intervalles Ij . On appelle
mesure ext¶erieure de Lebesgue ou simplement mesure de Lebesgue de E le nombre
m(E) := inf nXj
`(Ij ); E ½ [j
Ijo: (2.1)
Cette d¶e¯nition reste la m^eme si l'on utilise des intervalles Ij ouverts, ferm¶es ou les deux µa
la fois. En e®et, Si (Ij) est un recouvrement en intervalles ouverts de E, il existe un recou-
vrement (Kj) en intervalles ferm¶es donnant la m^eme longueur totale. Ainsi, l'utilisation de
recouvrement en ferm¶es pourrait donner une plus petite valeur de m(E). Or, pour chaque
recouvrement ferm¶e (Ik), il existe un recouvrement ouvert (Jk) dont la longueur totale est
inf¶erieure µa Pk `(Ik) + ², en choisissant par exemple (Jk) tel que `(Jk) < `(Ik) + ²=2k. Donc,
µa tout recouvrement ferm¶e (Ij) on peut associer des recouvrements ouverts avec des lon-
gueurs totales arbitrairement proches de la longueur totale de Ij . Ainsi, la borne inf¶erieure
des longueurs totales est la m^eme.
14 2 Mesure de Lebesgue
Proposition 2.1.1 Si I = [a; b] ½]0; 1[ ou I =]a; b[½]0; 1[ , alors m(I) = `(I).
Nous pouvons maintenant ¶enoncer les premiµeres propri¶et¶es de la mesure m.
Proposition 2.1.2
(i) m(E) · m(F) si E ½ F (Monotonie) ;
(ii) 0 · m(E) · 1 pour tout ensemble E ½]0; 1[ ;
(iii) m(;) = 0 ;
(iv) m(fxg) = 0 pour tout x 2 [0; 1].
D¶emonstration.
(i) Si (Ij) est un recouvrement de F alors (Ij) est un recouvrement de E. On en d¶eduit que
m(E) · m(F).
(ii) D'aprµes (2.1), le nombre m(E) est borne inf¶erieure de nombres positifs. Donc m(E) ¸ 0.
Nous notons en outre que, par la proposition 2.1.1, m([0; 1]) = 1. Donc, d'aprµes (i), m(E) · m( ]0; 1[ ) = 1.
(ii) ¶Evident.
(iii) L'union d'intervalles de la forme ]x¡ 1
n; x+ 1
n[ constitue un recouvrement de l'ensemble
fxg. En faisant tendre n vers +1, on obtient le r¶esultat.
Proposition 2.1.3 Pour toute famille d¶enombrable (Ei) de sous-ensembles de [0; 1], on a
m0@[j
Ej1A ·Xj
m(Ej):
En d'autres termes, la mesure m est sous-additive.
D¶emonstration. Pour un ¶el¶ement Ei de la famille d¶enombrable, soit ² > 0 et soit (Iij) un
recouvrement de Ei en intervalles ouverts tel que
m(Ei) + ²
2i >Xj
`(Iij):
Alors [iEi ½ [ijIij . Donc
m([iEi) ·Xij
`(Iij)
·Xi ³m(Ei) + ²
2i ´
=Xi
m(Ei) + ²:
En faisant tendre ² vers z¶ero, nous obtenons
mÃ[i
Ei!·Xi
m(Ei):
2.1 Mesure sur un intervalle born¶e 15
2.1.2 Ensembles mesurables
Une propri¶et¶e essentielle que nous voudrions obtenir pour une mesure est son additivit¶e. En
d'autres termes, nous voudrions obtenir l'identit¶e
mÃ[i
Ei!=Xi
m(Ei) (2.2)
pour toute famille d'ensembles (Ei) disjoints deux µa deux. Dans tout ce qui suit, nous appel-
lerons ensembles mesurables toute suite d'ensembles (Ei) pour lesquels la relation (2.2) est
vraie.
D¶e¯nition 2.1.1 On dira qu'un ensemble E est mesurable si
m(E) + m(Ec) = 1;
oµu Ec := ]0; 1[nE.
Nous pouvons ainsi d¶eduire les propri¶et¶es imm¶ediates suivantes :
Proposition 2.1.4
(i) L'ensemble E est mesurable si et seulement si son compl¶ementaire Ec est mesurable.
(ii) Si m(E) + m(Ec) · 1 alors E est mesurable.
(iii) Si m(E) = 0 alors E est mesurable.
(iv) Les intervalles sont des ensembles mesurables.
D¶emonstration.
(i) ¶Evident.
(ii) R¶esulte imm¶ediatement de la proposition 2.1.3. Cette in¶egalit¶e est donc une caract¶erisation
de la mesurabilit¶e.
(iii) Supposons m(E) = 0. On a
m(E) + m(Ec) = m(Ec) · 1:
Ceci ¶equivaut µa la mesurabilit¶e.
(iv) ¶Evident, puisque le compl¶ementaire d'un intervalle est union disjointe d'intervalles.
Lemme 2.1.1 Si (Ij) est une famille d¶enombrable d'intervalles disjoints deux µa deux de
l'intervalle ]0; 1[ , alors pour tout ensemble E on a
m0@E \[j
Ij1A =Xj
m(E \ Ij):
On a vu qu'un ensemble est mesurable si et seulement si il partitionne l'intervalle [0; 1] additi-
vement. Le r¶esultat suivant montre qu'il est mesurable si et seulement si il partitionne chaque
sous-intervalle de [0; 1] additivement.
16 2 Mesure de Lebesgue
Proposition 2.1.5 Un ensemble E est mesurable si et seulement si, pour tout intervalle
I ½]0; 1[ ,
m(E \ I) + m(Ec \ I) = m(I):
D¶emonstration. Notons l'intervalle I par I =]a; b[ avec 0 < a < b < 1. Soit en outre les
intervalles
I1 =]0; a[ ; I2 = I =]a; b[ ; I3 =]b; 1[ :
Puisque l'ensemble fa; bg a une mesure nulle, on a m(E n fa; bg) = m(E) et de m^eme pour
Ec. Donc, par la proposition pr¶ec¶edente :
m(E) = m(E \ I1) + m(E \ I2) + m(E \ I3);
m(Ec) = m(Ec \ I1) + m(Ec \ I2) + m(Ec \ I3):
En additionnant, nous obtenons, puisque (E \Ij)[(Ec \Ij) = Ij et gr^ace µa la sous-additivit¶e
m(E) + m(Ec) =
3 Xj=1
(m(E \ Ij) + m(Ec \ Ij))
¸
3 Xj=1
m(Ij) = 1:
Donc m(E) + m(Ec) = 1 si et seulement si
m(E \ Ij) + m(Ec \ Ij) = m(Ij)
pour tout j. Si I est de la forme ]0; a[ ou ]b; 1[ le m^eme argument fonctionne en consid¶erant
un seul intervalle compl¶ementaire.
Proposition 2.1.6 (Caract¶erisation de Carath¶eodory)
L'ensemble E est mesurable si et seulement si on a
m(E \ T) + m(Ec \ T) · m(T)
pour tout « ensemble test » T.
D¶emonstration. Le condition est su±sante puisqu'il su±t de prendre T =]0; 1[ . Montrons
que la condition est n¶ecessaire.
Soit T une partie quelconque de ]0; 1[ et soit ² > 0 et (Ij) un recouvrement d¶enombrable de
E par des intervalles ouverts tels que
1Xj=1
m(Ij) < m(T) + ²:
Alors
E \ T ½
1[j=1
(E \ Ij); Ec \ T ½
1[j=1
(Ec \ Ij):
2.1 Mesure sur un intervalle born¶e 17
Si E est mesurable, on a
m(E \ Ij) + m(Ec \ Ij) = m(Ij) pour tout j:
Utilisant la monotonie et la sous-additivit¶e, nous obtenons
m(E \ T) + m(Ec \ T) ·
1Xj=1
m(E \ Ij) +
1Xj=1
m(Ec \ Ij)
=
1Xj=1
m(Ij) < m(T) + ²:
Puisque ² est arbitraire, nous pouvons conclure.
Proposition 2.1.7 Soit (Ei)1i=1 une famille d¶enombrable d'ensembles disjoints deux µa deux
et mesurables. Alors
mÃ1[i=1
Ei!=
1Xi=1
m(Ei):
D¶emonstration. Soit E1;E2; : : : ;En une famille ¯nie d'ensembles disjoints deux µa deux et
mesurables. On a par la proposition pr¶ec¶edente avec T = E1 [ : : : [ En,
m(E1) + m(E2 [ ¢ ¢ ¢ [ En) = m(E1 [ ¢ ¢ ¢ [ En):
De m^eme, pour T = E2 [ : : : [ En,
m(E2) + m(E3 [ ¢ ¢ ¢ [ En) = m(E2 [ ¢ ¢ ¢ [ En):
Donc
m(E1) + m(E2) + m(E3 [ ¢ ¢ ¢ [ En) = m(E1 [ ¢ ¢ ¢ [ En):
On en d¶eduit
mà n [i=1
Ei!=
n Xi=1
m(Ei):
Supposons maintenant que la famille (Ei) soit d¶enombrable. On a pour tout n = 1; : : : ;+1
mÃ1[i=1
Ei!¸ mà n [i=1
Ei!=
n Xi=1
m(Ei);
donc
mÃ1[i=1
Ei!¸
1Xi=1
m(Ei):
Proposition 2.1.8 Si (Ei) est une famille d¶enombrable d'ensembles mesurables, alors [iEi
est mesurable. Les ensembles ouverts et les ensembles ferm¶es sont mesurables.
18 2 Mesure de Lebesgue
2.2 Mesure sur un ensemble quelconque de R
D¶e¯nition 2.2.1 Soit X un ensemble et soit P(X) l'ensemble des parties de X. On appelle
algµebre sur X toute partie A de P(X) v¶eri¯ant les propri¶et¶es suivantes :
(i) X; ; 2 A ;
(ii) Si E 2 A alors Ec := X n E 2 A ;
(iii) Si E1;E2 2 A alors E1 [ E2 2 A , i.e. A est ferm¶e pour l'union.
On peut montrer ais¶ement qu'une algµebre est aussi ferm¶ee pour les unions et intersections
¯nies d'ensembles.
D¶e¯nition 2.2.2 Soit X un ensemble et soit A une algµebre sur X. On dit que A est une
¾{algµebre sur X si A est ferm¶ee pour les unions d¶enombrables, i.e. :
si (Ei)1i=1 2 A alors
1[i=1
Ei 2 A :
Proposition 2.2.1 L'ensemble des parties mesurables de l'intervalle ]0; 1[ forme une ¾{
algµebre.
Nous voulons maintenant ¶etendre la notion de mesure µa tout sous-ensemble de R.
Soit n 2 Z et soit E une partie de l'intervalle ]n; n + 1[ . On d¶e¯nit
¹(E) = m(E ¡ n); oµu E ¡ n := fx ¡ n; x 2 Eg:
Ainsi on a ¶evidemment ¹(E) = m(E) si E ½]0; 1[ . Soit maintenant E une partie de R, on
d¶e¯nit
¹(E) =Xn2Z
¹(E\]n; n + 1[ ):
Remarque 2.2.1 On d¶eduit de cette d¶e¯nition que si E est d¶enombrable alors ¹(E) = 0. De
plus, la mesure ¹ peut ^etre in¯nie.
D¶e¯nition 2.2.3 Une partie E de R est dite mesurable si, pour tout n 2 Z, l'ensemble
E\]n; n + 1[ est mesurable, i.e., si on a
¹(E\]n; n + 1[ ) + ¹(Ec\]n; n + 1[ ) = 1:
Proposition 2.2.2 Une partie E de R est mesurable si et seulement si, pour tout ensemble
T de R,
¹(E \ T) + ¹(Ec \ T) = ¹(T): (2.3)
D¶emonstration. On a par d¶e¯nition
¹(T) =Xn2Z
¹(T\]n; n + 1[ );
¹(T \ E) =Xn2Z
¹(T \ E\]n; n + 1[ );
¹(T \ Ec) =Xn2Z
¹(T \ Ec\]n; n + 1[ ):
2.2 Mesure sur un ensemble quelconque de R 19
Donc, si E est mesurable, on a pour tout n 2 Z, en choisissant pour un ensemble test
T\]n; n + 1[ ,
¹(T \ E\]n; n + 1[ ) + ¹(T \ Ec\]n; n + 1[ ) = ¹(T\]n; n + 1[ ):
D'oµu le r¶esultat (2.3). R¶eciproquement, si la relation (2.3) a lieu pour tout T, alors si on
choisit T =]n; n + 1[ , tout ensemble E\]n; n + 1[ est mesurable.
Proposition 2.2.3 La mesure de Lebesgue ¹ est invariante par translation, i.e., pour toute
partie E de R,
¹(E + x) = ¹(E) pour tout x 2 R:
problème gastrique par seb (invité) (193.48.219.xxx) le 02/10/06 à 22:02:16
peut ètre azrem pourrait-il nous éclaircir tout ca, je connais deja les intégrales de riemann ca pourrait aider a l'explication
problème gastrique par (invité) (82.216.103.xxx) le 02/10/06 à 22:13:52
cher maxbault,
je n'ai rien contre ceux qui font plus de 50 minutes sur 10 bornes. Chacun fait ce qu'il veut et surtout ce qu'il peut.
problème gastrique par azrem (membre) (85.168.136.xxx) le 02/10/06 à 22:16:32
seb: tu apprendras quand tu seras grand, que les intégrales de Reimann ne permettent pas de calculer toutes les integrales.
et tu feras alors appel à monsieur Lebesgue.
problème gastrique par RX (membre) (82.66.88.xxx) le 02/10/06 à 22:32:00
en arrivant comme ca sur le messages ca fait bizarre !!!! comment peu-on patir d'un pb gastrique pour arriver à des calculs d'intégrales ??? l'indigestion a dû êre féroce !!!
Azrem pitié, reviens à la cap le repos ne te vaut rien de bon :)
problème gastrique par Jaune (invité) (84.98.148.xxx) le 02/10/06 à 22:33:53
Problemes de calculs...!
problème gastrique par seb (invité) (193.48.219.xxx) le 02/10/06 à 23:08:59
azrem tu as fait la fac de maths a lyon 1?
problème gastrique par abc (invité) (196.203.229.xxx) le 02/10/06 à 23:11:46
Azrem,
continues à apporter ta touche d'humour à ce forum, on s'ennuie sans toi.
abc
problème gastrique par (invité) (82.216.103.xxx) le 03/10/06 à 08:17:05
Faut-il encore que l'humour de ce gros naze soit drôle. Quelle chèvre. Enlèves la remorque Nazrem quand tu cours.
problème gastrique par cat (invité) (195.6.140.xxx) le 03/10/06 à 09:26:51
rekdal,il est paru l'année derniere 1 article sur les problemes gastriques des courreurs (fous pour azrem..lol)où il est expliqué que l'impact permanent sur le sol provoque au niveau des intestins (eh oui ca va jusque là)une permeablité,d'où problemes ..c'est en quelque sorte une usure! generalement, c'est lié à 1 exces de cap..tu pousses 1 peu trop loin la machine;sachant que l'alimentation du capiste est plus ou moins fantaisite, ça fait 1 coktail des plus detonnant..
tu m'exuseras de ne pas etre plus explicite mais ce sujet ne me concernant pas, je l'avais lu en diagonal...
dans mon fouillis à la casa del sol (c'est chez moi), je peux te retrouver le numero de l'article?
problème gastrique par thyo (membre) (212.11.40.xxx) le 03/10/06 à 09:38:18
arrête le lait et les produits laitiers en général. Garde éventuellement 1 yaourt par jour. Complète avec du soja enrichi en calcium + fromage de chèvre, brebis. Sceptique au départ, maintenant je me rends compte que c'est mieux sans.
a+
problème gastrique par Kriko (membre) (145.64.134.xxx) le 03/10/06 à 10:39:11
Faire également attention à Azrem, qui peut avoir un effet laxatif sur les sujets non immunisés.
problème gastrique par REKDAL (invité) (83.194.132.xxx) le 03/10/06 à 18:03:37
Je ne pensais pas que mon problème de diahrées nous amènerait à une théorie mathématique, qui j'en suis sûr nous est indispensable dans la vie quotidienne.
neanmoins merci à ceux qui m'ont répondu.
problème gastrique par seb (invité) (193.48.219.xxx) le 03/10/06 à 18:11:53
je ne suis pas d'accord en ce qui concerne le lait, les problèmes gastriques sont je pense dus au fait que pendant la course, l'estomac n'estplus irrigué par le sang qui li va dans les muscles et donc si tu était en pleine digestion, ca peut faire mal...après je pense ue chacun a sa part de vérité!!
Répondre au message - Retour au forum sur la course à pied
Forum sur la course à pied géré par Serge